Ekonomi ve İstatistik Portalı » Yöneylem Araştırması

Simplex Yöntem

OkanSarioglu — Sat, 20 Feb 2010 16:19:29 +0000

Yöneylem araştırması

2.1.6 SİMPLEKS YÖNTEM

Doğrusal programlama problemlerinde gerek analitik gerekse grafik çözüm yöntemleriyle çözülemeyen problemlerin çözümüne simpleks yöntemle ulaşmak mümkündür. Analitik yöntemin en iyi çözüm olup olmadığı bilinmeden uygulanamaması, grafik yöntemin de üçten fazla değişken için uygun çözümün bulunamaması, bu yöntemlerin çok bilinmeyenli denklem sistemlerinin analizinde yetersiz kalacağını göstermektedir. Bunun için ilk olarak 1947 yılında G.B.Dantzig tarafından uygulanan simpleks yöntem daha sonra diğer araştırmacılar tarafından geliştirilerek bugünkü halini almıştır. Günümüzde de çok bilinmeyenli denklem sistemlerinin analizinde kullanılan yöntemlerin başında gelmektedir.

Bu yöntemin genel amacı en iyi çözüme ardışık tekrarlama yoluyla ulaşmaktadır problemin kısıtlarına ve pozitiflik koşuluna bağlı olarak başlangıç simpleks tablosu oluşturulmaktadır. Oluşturulan tablo yardımıyla , çözüm bölgesinin bir uç noktasından başlayarak tekrarlayıcı işlemlerle, belirli bir düzen içerisinde amaç fonksiyonunu maksimum(veya minimum) yapan değişken değerlerine ulaşıncaya kadar işlemler sürdürülmektedir.

2.1.6.1 SİMPLEKS YÖNTEMİN AŞAMALARI

1.Eşitsizliklerin Eşitlik Haline Dönüştürülmesi

a) Eğer problemdeki eşitsizlikler <= şeklinde ise;

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ……………+a_1nx_n<=b₁

denklemi eşitlik haline dönüştürmek için sol tarafına S aylak değişkeni eklenir. Bu değişken kullanılmayan kapasiteyi göstermektedir. Aylak değişkenin amaç fonksiyonundaki katsayı değeri sıfırdır. Buna göre kısıtlayıcı denklem şu şekilde yazılır;

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ……………+a_1nx_n+S = b₁

b) Eğer problemdeki eşitsizlikler => şeklinde ise

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ……………+a_1nx_n => b₁

denklemi eşitlik aline getirmek için bu kez sol tarafından V artık değişkeni çıkarılmakta ve A yapay değişkeni eklenmektedir. Artık değişken fazla kapasiteyi göstermektedir. Yapay değişkenin ise ekonomik bir anlamı yoktur. Artık değişkenin amaç fonksiyonundaki katsayı değeri sıfırken, yapay değişkenin katsayı değeri yüksek bir değer olarak tanımlayabileceğimiz M ‘dir. Başlangıç simpleks tablosunun temel değişken sütununda artık değişken yer almamakta, onun yerine yapay değişken yer almaktadır. Buna göre kısıtlayıcı denklem şu şekilde yazılır.

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ……………+a_1nx_n -V+A = b₁

c) Eğer problemdeki kısıtlayıcı denklem eşitlik halinde ise;

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ……………+a_1nx_n = b₁

denklemin sol tarafına sadece ekonomik bir anlamı olmayan A yapay değişkeni eklenmesiyle kısıt eşitlik halinde tekrar yazılır.

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ……………+a_1nx_n +A= b₁

2. Başlangıç Simpleks Tablosunun Hazırlanması

Problemdeki eşitsizlikler eşitlik haline dönüştürüldükten sonra başlangıç simpleks tablosuna aktarılır. Amaç fonksiyonu ve kısıtlara bağlı olarak oluşturulan bu tablo yardımıyla belirli aşamalardan sonra problemin optimal çözümüne ulaşılır. Genel olarak bir simpleks tablosu aşağıdaki gibidir.

Simplex tablosu

m: Toplam kısıt sayısı

n: Toplam karar değişkeni

c_j: Amaç fonksiyonu katsayıları

i: Plandaki faaliyetlerin indisi

P_i: Plandaki faaliyetler

c_i: Plandaki faaliyetlerin değişken masraflar üzerindeki karları

x_j: Karar değişkeni

P₀:Çözüm sütunu

R_i: Plandan çıkarılacak faaliyetleri belirlemede kullanılan oran

z_j: j faaliyetinin ikame maliyeti

3. Anahtar Sütunun Belirlenmesi

Eğer amaç fonksiyonu maksimizasyon amaçlıysa tablodaki c_j-z_j sıra değerleri bulunur. Bunların içerisinden en büyük olanı seçilir. Bu değere karşılık gelen sütun değerleri anahtar sütunu oluşturmaktadır. Bu sütuna karşılık gelen değişken ise işleme girmesi gereken değişken olarak seçilir.

4. Anahtar Sıranın Belirlenmesi

Çözüm elemanlarının bulunduğu sütunun anahtar sütuna bölünmesiyle oluşan oranlarda en küçük pozitif değer seçilir. Ancak bu orana bakılırken anahtar sütundaki negatif ve sıfır olan değerler dikkate alınmaz. Bu oranlardan seçtiğimiz değere karşılık gelen sıra anahtar sıra olarak seçilir bu sıraya karşılık gelen değişken ise işlemden çıkması gereken değişken olarak belirlenir.

5. Yeni Sıra Oluşumu

Yeni sıra oluşturulurken, çıkan değişkenin yerine gelecek olan giren değişkenin satır elemanlarının hesaplanması gerekmektedir. Bunun için anahtar sıra ile anahtar sütunun kesiştiği değer anahtar sayı olarak belirlenir. Anahtar sıradaki tüm değerler anahtar sayı değerine bölünerek temel sıra oluşturulur. Anahtar sıra dışındaki diğer tüm sıralar eski sıra olarak belirlenir. Temel sıra elemanları giren değişken olarak tabloda yerini alır. Diğerleri ise şu formülle hesaplanarak tabloya yerleştirilir.

Yeni sıra elemanı = Eski sıra elemanı-(Temel sayı * Temel sıra elemanı)

Burada temel sayı, anahtar sayıyla aynı sütunda yer alan eski sıra elemanıdır. Yeni sıra oluşturulurken, yeni sıranın her bir elemanı yukarıdaki formül yardımıyla hesaplanır.

6. Optimal Çözüme Ulaşma

Simpleks yöntemle optimal çözüme ulaşılıp ulaşılmadığı c_j-z_j sıra elemanlarından anlaşılır. Eğer problem maksimizasyon amaçlı ise, çözümün optimal olabilmesi için c_j-z_j sıra elemanlarının sıfır yada sıfırdan büyük olması gerekir. Minimizasyon amaçlı problemlerde bunun tersi durum geçerlidir.

Başlangıç simpleks tablosundan başlayarak optimal çözüme ulaşana kadar anahtar sütün ve anahtar sıra belirlenerek yeni sıralar oluşturulur. Optimal çözüm c_j-z_j sıra elemanlarının istenen değerlere ulaşmasıyla bulunur.

KARŞILAŞILAN BAZI ÖNEMLİ DURUMLAR

1. Bozulma (Dejenerasyon)

a) Anahtar Sıra seçiminde karşılaşılan bozulma ;

Anahtar sıranın seçiminde, çözüm sütunundaki değerlerin anahtar sütundaki değerlere bölümüyle oluşan oranlara bakılıyordu. Bu oranlar içerisinden pozitif en küçük değerli iki oran varsa bir bozulma durumuyla karşılaşılır. Bunu gidermek için temel olmayan değişkenler matrisindeki elemanlar anahtar sütun elemanlarına

bölünür. Bu bölümden elde edilen oranlar içerisinden en küçük elemana denk gelen sıra anahtar sıra olarak seçilmektedir.

b) Anahtar sütunun seçiminde karşılaşılan bozulma ;

Anahtar sütun belirlenirken, cj-z_j sıra elemanlarına bakılıyordu. Maksimizasyon amaçlı bir problemde bu elemanlardan en büyük olan, minimizasyon amaçlı problemde ise en küçük olan birden fazla değer varsa bir bozulma durumuyla karşılaşılır. Bunu gidermek için çözüm sütunu elemanlarını her bir anahtar sütun elemanlarına bölerek oluşan oranlardan en küçük pozitif değere karşılık gelen değerin bulunduğu sütun anahtar sütun olarak seçilmektedir.

c) Bir veya daha fazla temel değişkenin çözüm değeri sıfır oluyorsa, bu durumdaki çözüme dejenerasyon çözüm denir. Bu durum bazen geçici olabilir. İşlemler esnasında temel değişkenin sıfır olmasına karşın sonuç tablosunda bu durumla karşılaşılmazsa geçici dejenerasyon denir.

d) İşlemler esnasında bir döngü oluşması sonucu bir türlü sonuca ulaşılmaması nedeniyle bir bozulma olabilir. Buna uygulamada az rastlanır. Sonuca ulaşılamadığı için problemin çözümü yoktur.

2. Sınırsız Çözüm

Simpleks yöntem uygulanırken, işlemin herhangi bir aşamasında anahtar sütundaki elemanların negatif veya sıfır olması halinde problemin çözümü sınırsızdır. Bunun nedeni, anahtar sıra seçilirken, anahtar sütun elemanlarında negatif ve sıfır değerli olanlar dikkate alınmazdı. Böyle bir durumda anahtar sıra seçilemeyeceğinden sınırsız çözüm vardır.

3. Seçenekli Optimal Çözüm

Doğrusal programlama probleminin optimal çözümüne yönelik aynı sonucu veren birden fazla değişken olabilir. Diğer değişkenin işleme girmesi optimal çözümü değiştirmiyorsa seçenekli optimal çözüm vardır. Simpleks yöntemde c_j-z_j sıra elemanlarındaki değerlerden temel olmayan değişkene denk gelen eleman sıfır oluyorsa seçenekli optimal çözüm vardır.

4. Uygun Çözüm Bulunmaması

Eğer temel değişken sütununda yapay değişken yer alıyorsa ve çözüm değeri sıfırdan farklıysa problemin uygun çözümü yoktur. Bu tür optimal çözüme yalancı optimal çözüm denmektedir.

5. Sınırsız Uygun Alan Ve Sınırlı Optimal Çözüm

Sınırsız uygun alan olması durumunda, optimal bir çözüm bulunabilir. Bunu anlamak için simpleks tablosundaki herhangi bir sütundaki değerlere bakılır. Bu değerler sıfır ve negatif değerlerden oluşuyorsa sınırsız uygun alan vardır denir.

Yöneylem Araştırması / Doğrusal Programlama

Dualite Hakkında

OkanSarioglu — Sat, 20 Feb 2010 15:57:17 +0000

Yöneylem Araştırması

DUALİTE

Doğrusal programlama probleminin simpleks yöntemle çözümünde zorluklar yaşanabilir. Problemin duali alınarak belki bir nebze kolaylaştırılabilir. Dual model simpleks modelin değişik bir biçimde yazılışıdır. Eğer simpleks yöntemde karar değişkenleri fazla kısıtlayıcı sayısı az olursa, bu modelin duali alınarak çözüme ulaşmakta kolaylık sağlanır.

Doğrusal programlamada her maksimizasyon probleminin minimizasyonu veya her minimizasyon probleminin bir maksimizasyonu vardır. Bir problemin dualinim dualı alınırsa problemin kendisine eşit olur. Bir problemin dualinin alınması için kanonik formda olması gerekmektedir. Eğer kanonik formda değilse bu hale dönüştürülür. Problem maksimizasyon amaçlıysa eşitsizliklerin yönü <= şeklinde, problem minimizasyon amaçlıysa eşitsizliklerin yönü => şeklinde olmalıdır. Problemin bu halde olması onun kanonik formda olduğunu gösterir. Problemin optimal çözümü hem primal hem de dual modelde aynı değeri vermektedir. Eğer primal modelde çözüm sınırsız olursa, dual modelde problemin uygun çözümü yoktur. Bunun terside doğrudur.

DUAL MODELİN YAZILMASI

Primal modelden dual modele geçerken şu kurallara uyulması gerekmektedir.

1.Primal modelde amaç fonksiyonu maksimizasyon amaçlıysa dual modelde bu minimizasyon halini alır. Eğer primal modelde amaç fonksiyonu minimizasyon amaçlıysa bunun duali maksimizasyon halini alır.

2. Primal modeldeki maksimizasyon amaçlı problemin kanonik formdaki kısıtlayıcılarının yönü <= şeklinde iken, dual modelde bunların yönü değişerek => halini alır. Bunun tersi de doğrudur.

3. Hem primal hem de dual modeldeki değişkenlerin tümü pozitiflik koşuluna uygun olmalı, negatif olmamalıdır.

4. Primal modeldeki kısıtlayıcılar dual modelde karar değişkeni olmaktadır. Primal modeldeki karar değişkenleri de dual modelde kısıtlayıcı haline dönüşmektedirler. Primal modelde m tane kısıt n tane karar değişkeni varsa, problemin dual modelinde n tane kısıt m tane karar değişkeni vardır.

5. Primal modeldeki amaç fonksiyonunun katsayı değerleri dual modelde ihtiyaç vektörü değerlerine dönüşürken, ihtiyaç vektöründeki değerler de amaç fonksiyonunun katsayı değerleri haline dönüşmektedir.

6. Primal modeldeki kısıtlayıcıların katsayı matrislerinin transpozesi dual modeldeki kısıtlayıcıların katsayı değerlerini oluşturmaktadır.

7. Primal modeldeki bir serbest değişkenin işareti sınırlandırılmamışsa, dual modelde buna karşılık gelen kısıtlayıcı denklem eşitlik halinde yazılır. Bunun tersi de doğrudur.

DUAL SİMPLEKS YÖNTEM

Primal modeldeki problemin duali alındıktan sonra kısıtların kanonik formda olmasına dikkat edilerek primal modelde olduğu gibi simpleks yöntem uygulanır.

Primal modelle dual modelin sonuçlarını karşılaştırırsak; dual modeldeki optimal çözüm primal modeldeki optimal çözüme eşittir. Bunun yanı sıra dual modeldeki temel olmayan değişkenlerin cj-zj sırasındaki çözüm değerleri, primal modelde bu değişkenlere karşı gelen temel değişkenlerin optimal çözüm değerini vermektedir. Ayrıca dual modeldeki temel değişkenlerin cj-zj sıra elemanlarındaki çözüm değerleri, primal modeldeki temel olmayan değişkenlerin optimal çözüm değerini vermektedir.

Yöneylem Araştırması / Doğrusal Programlama

Yöneylem Araştırmaları Ders Notları(İTÜ-Doc.Dr.Y.İlker TOPCU)

muce — Sun, 31 Jan 2010 13:55:49 +0000

notları buradan indirebilirsiniz…

Kuyruk (Bekleme Hattı) Kuramı ve Simulasyonu

OkanSarioglu — Sun, 24 Jan 2010 15:14:34 +0000

Hazırlayan : Mert Okan Sarıoğlu

Not : Kaynak belirtmeden başka bir websitesine alıntı yapmayınız, aksi halde yasal işlem yapılır. İçindeki simulasyon programı MATLAB da yazılmış olup, programı geliştirmek için öneriniz varsa benimle iletişime geçebilirsiniz. Ayrıca aşağıda, notun sadece belirli bir bölümü vardır. Tamamını indirmek için tıklayınız.

ÖZET

Bu çalışmada bekleme hattı (kuyruk teorisi) ve simülasyon konuları açıklanmış, tek kanallı ve tek hizmet birimli bir bekleme hattının istatistiksel modellemesi yapılmış ve MATLAB ‘da bu teori ile ilgili bir simülasyon programı yazıldıktan sonra simülasyon çıktıları incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler : Bekleme hattı, kuyruk teorisi, simülasyon, benzetim tekniği.

Simülasyon (Benzetim) Tekniği

Verilen bir sistemin davranışı hakkında sonuçlar çıkaran eyleme benzetim denir. Bir benzetim çalışması, özgün sistemin neden-sonuç ilişkilerini betimleyen modelin davranışları incelenerek yapılır. Bu nedenle benzetim, sistem başarımını gerçekçi olan modellerin kullanımı ve geliştirilmesi ile de ilgilenir. Simülasyon tekniği; matematiksel olarak modellenmiş bir olayın(sistemin) 1000 gibi 1000000 gibi yüksek sayılarla tekrarlanması sonucunda merak edilen, sistemin nereye, nasıl, ne kadar miktarda, ne oranda sorularına cevap bulmamızda büyük bir yardımcıdır.

Bekleme Hattı Teorisi

Pek çok konuda hızlı gelişmelerin yaşandığı günümüzde hizmet üreten işletmeler de gelişmekte, büyümekte, hizmet düzeyini, etkinliğini ve sürekliliğini artırma ihtiyacı duymaktadırlar. Bunun sonucunda da etkinliği artırma faktörü, yönetici için önemli bir gereklilik olarak ortaya çıkmaktadır. Sıra beklemenin söz konusu olduğu bir hizmet işletmesinde, hizmet talebinin belirsizliği, birbirine zıt iki durumu ortaya çıkarmaktadır. Bunlardan ilki, müşterilerin beklemesi ya da bekleme nedeniyle müşteri kaybı, ikincisi ise hizmet biriminin boş beklemesidir. Bu sorunlara çözüm arayışı, bilimsel yönetim tekniklerinin kullanılmasını bir zorunluluk haline getirmektedir. Aksi halde, bekleme zamanını azaltmak ve müşteri kaybını önlemek amacıyla talebi anında karşılamak için hizmet kapasitesini artırmak, hizmet biriminin boş kalıp beklemesi durumunda işletmeye çok pahalıya mal olacak bir etkinlik kaybına sebep olacaktır. Birbirine zıt bu iki bekleme durumu arasında optimal bir bekleme zamanı bulmak, bir işletmecilik sorunudur. Bu sorunu çözmek için kullanılan sisteme, literatürde sıra bekleme sistemleri ya da kuyruk modelleri denmektedir. Bu sistemlerin analizinde amaç; sıra bekleme sisteminin işleyişiyle ilgili toplam maliyeti, ilgili maliyet türleri ve hizmet talebinin miktarı doğrultusunda en az düzeye indirilebilecek bir hizmet kapasitesi belirlemektir.

Bekleme, günlük yasamın vazgeçilmez parçalarından biridir. Süpermarketlerde, bankalarda, yemekhanelerde ve daha birçok yerde kuyrukla karşılaşılır. Hizmet için gelen müşteri taleplerinin anında karşılanamaması, servis sistemlerinin yetersizliğini ve bekleme sorununu ortaya çıkararak bir yığılma meydana getirmektedir. Meydana gelen bu yığılma olayına “Bekleme Hattı” veya “Kuyruk” , probleme ise “Bekleme Hattı Problemi” veya “Kuyruk Problemi” denilir. Bu yöndeki kurumsal çalışmalara da “Bekleme Hattı Kuramı” veya “Kuyruk Kuramı” adı verilir(Erdin, 1992: 4)

Teorik Alt Yapı

Üniteler (Müşteriler) : Servis hizmeti almak için kuyruğa giren kişiler, makineler, techizatlar vs dir.

Kuyruk (Bekleme) Hattı : Gelen ünitelerin, sistemin başka bir üniteye hizmet vermesinden dolayı oluşturduğu birikimdir.

Servis Kanalı : Ünitelere servis yapan süreçtir. Bu çalışmada servis kanalımız 1’dir.

Geliş Hızı : Birim zamanda kuyruğa giren ünite miktarıdır. Teorik olarak POISSON dağılmaktadır. Ayrıca ünitelerin geliş hızı birbirinden bağımsızdır.

Gelişler Arası Zaman : Birbirini izleyen ünitelerin arasındaki zaman dilimleridir. Teorik olarak üstel dağılmaktadır. Her aralık aynı üstel dağılıma sahiptir.

Servis Hızı : Servise alınan ünitenin, servis gördüğü zamandır. Teorik olarak normal dağılıma sahiptir.

Servis Disiplini : İlk giren ilk çıkar (FIFO), son giren ilk çıkar (LIFO), rasgele seçim ve öncelikli seçim gibi türleri vardır.

Servis hızı, geliş hızı ve gelişler arası zaman’dan bağımsızken; geliş hızı ve gelişler arası zaman arasındaki zaman birbirine bağımlıdır. Bir kuyruk sistemi talepte bulunan nüfusu,varışların türü, servis mekanizması, sistem kapasitesi ve kuyruk disiplini ile tanımlanır.

Tek kanallı kuyruk için talepte bulunan nüfus sonsuzdur
Bir bireyin nüfustan ayrılıp bekleme kuyruğuna veya servise girse bile diğer bireylerin varış oranında değişme olmaz

Servis süreleri bir olasılık dağılımına göre rasgele bir uzunluktadır ve zaman içinde değişmezler.
Sistem kapasitesi limitsizdir yani herhangi bir sayıda birey kuyruğa girebilir.
Bireyler kuyruğa giriş sıralarına göre servise alınacaklardır (FIFO = First in First Out).

Yöneylem Araştırması / Doğrusal Programlama

OkanSarioglu — Tue, 06 Oct 2009 12:45:46 +0000

Ders Notunu buradan inderebilirsiniz

İçerik :

Analitik Çözüm Yöntemi

Grafiksel Çözüm Yöntemi

Simplex Yöntem ve Aşamaları

Bozulma Durumları
Sınırsız Çözüm
Seçenekli Optimal Çözüm
Uygun Çözümün Bulunmaması

Dualite

Dual Simplex Yöntem

Duyarlılık Analizi

Envanter Modelleri

Deterministik Envanter Modelleri

Sabit Oranlı Sipariş Modeli

Fiyat İndirgeme Durumundaki Model

Stok Tükenmesi Durumunda Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli

Stok Tükenmesi Durumunda Üretim Modeli

Stokastik Envanter Modeller

Sabit Tedarik Süresi ve Değişken Talepli P ve Q Sistemleri
Sabit Talep ve Değişken Tedarik Süreli P ve Q Sistemleri
Değişken Talep ve Değişken Tedarik Süreli P ve Q Sistemleri
Tek Siparişli Model