Mann-Whitney U Testi

Buradasınız : Ana Sayfa // istatistik // Mann-Whitney U Testi

Yazan OkanSarioglu Tarih 26 Ocak 2010 | Yorum Yapın

GİRİŞ

Hipotez testleri aralık ve oran ölçeklerine uygulanabilen ve anakütle dağılımları hakkında belirli varsayımlara dayanan “Parametrik Testler (Parametric Tests)” ve genellikle nominal ve ordinal ölçeklere uygulanabilen ve anakütle dağılımları hakkında herhangi bir varsayıma dayanmayan “Parametrik Olmayan Testler (Non-parametric Tests)” olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Parametrik testlerin bazı koşullar altında uygulanamadığı zamanlarda, parametrik olmayan testler alternatiftir.

Biz bu çalışmamızda parametrik olmayan testlerden Mann-Whitney U Testi ve Friedman İki Yönlü Varyans Analizi testlerini inceledik. Ayrıca bu araştırmamızın uygulamasını SPSS İstatistik programıyla yaptık.

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLERİN UYGULAMA ALANLARI

Verilerin ölçümlerinde kullanılan ölçekler, hipotezlerin test edilmesinde önemli rol oynar. Veriler İsimsel(Nominal), Sıralı(Ordinal), Aralıklı(Interval) ya da Oransal(Propotional) ölçekle elde edilir. Aralıklı ve Oransal ölçekli verilerde dağılım varsayımları kurulur, parametreler hesaplanır. İsimsel ve Sıralı ölçekli verilerde parametre tahminleri yapılamaz. Ancak kategorilere göre oransal tahminler yapılabilir.

İsimsel ve Sıralı ölçekli elde edilmiş verilerde normal dağılım varsayımı kurulamaz ve parametre tahmini yapılamaz. Bu nedenle bu tür verilerin analizinde parametrik olmayan testler uygulanır.

Aralıklı ölçekle elde edilmiş verilerde normal dağılım varsayımı her zaman kurulamaz yada belirli bir dağılım varsayımına göre kurulmuş hipotezler yerine serbest yaklaşımlar denenmek istenebilir. Bu gibi koşullarda parametrik testler yerine parametrik olmayan testler uygulanır.

Toplum parametresinin hesaplanamadığı yada belirli bir dağılım varsayımı yapılmadığı, ölçümlemenin isimsel, sıralı ya da aralıklı bir yöntem ile yapılmış olduğu durumlarda verilerin analizinde parametrik olmayan testlerden yararlanılır.

Örnek birim sayılarının az olduğu, verilerin türdeş olmayan bir yapıda olduğu ve ölçümlerin aralıklı ölçekle ölçülmesine rağmen kullanılan ölçme aracının güvenilirliğinin az olduğu durumlarda veri setindeki gerçek veriler yerine onların sıralama puanları(rank) kullanılarak analiz yapılmasının uygun görüldüğü durumlarda da parametrik testlerden yararlanılır.

Parametrik olmayan testlerde de sıfır hipotezi ve karşıt hipotez kurulur. Fakat buradaki hipotezler bir parametrik değeri hedef almayan, belirli bir dağılımı varsaymayan hipotezlerdir.

Bu ödevde Bağımsız İki Örnek testi olan “Mann-whitney U testi” ve Bağımlı k Örnek Testi olan “Friedman Testi” incelenecektir.

Mann-Whitney U testi, bağımsız iki örneğin aynı medyanlı iki anakütleden alınmış rasgele örnekler olup olmadığını test etmek için kullanılırken, Friedman Testi ise bir gruptan k işlem için sıralı, skor ya da aralıklı ölçekle elde edilmiş verilerin işlem etkilerini test etmek için kullanılır.

3. MANN-WHİTNEY U TESTİ

3.1. Teorik Açıklama :

3.1.1. Tanım :

Mann-Whitney U testi parametrik olmayan çift taraflı bir testtir. Bağımsız iki örneklem t testinin parametrik olmayan alternatifidir. Z ve t’nin, test istatistiği olarak kullanılması uygun olmadığı durumlarda iki örneklem arasındaki farkla ilgili sıfır hipotezini test etmek imkansız değildir. Bu gibi durumlarda genellikle uygun bir non-parametrik yöntem seçilir. Konu iki bağımsız örneğin arasındaki farkın anlamlı olup olmadığını test etmek ise, non-parametrik testlerden en sık kullanılanı Mann-Whitney U testi seçilir ( yani t ve z test istatistikleri uygun olmadığı zaman iki bağımsız örneği test etmek için Mann-Whitney U testi alternatiftir). Anakütle dağılımları hakkında varsayımlara dayanmadığı ve küçük örnekler ( n₁ve n₂=> 10) söz konusu olduğunda dauygulanabildiği için parametrik alternatiflerine oranla kullanım alanı daha geniştir.

3.1.2. Hipotezlerin Kurulması :

Mann-Whitney U testi, n₁ ve n₂ hacimli bağımsız iki örneğin aynı medyanlı populasyondan alınmış rasgele örnekler olup olmadığını test etmek için kullanılır(Bilindiği gibi simetrik anakütlenin medyanı ve ortalaması eşittir).

M_x 1. örneklemin, M_y de 2. örneklemin medyanı olsun. Hipotez testleri aşağıdaki gibi kurulur:

(a) Çift taraflıysa;

H₀ : M_x = M_y ( İki örnek aynı anakütleden gelmektedir, ortalamalar eşittir)

H_a : M_x ve M_y eşit değil (İki örnek farklı anakütlelerden gelmektedir, ortalamalar eşit değildir)

(b) Tek taraflıysa;

H₀ : M_x => M_y (1. Anakütlenin medyanı 2.anakütlenin medyanından büyük ve eşittir)

H_a : M_x< M_y (1. Anakütlenin medyanı 2. Anakütlenin medyanından küçüktür)

ii)H₀ : M_x <= M_y (1. Anakütlenin medyanı 2. Anakütlenin medyanından küçük veeşittir)

H_a : M_x > M_y (1.anakütlenin medyanı 2. Anakütlenin medyanından büyüktür)

3.1.3. Hesaplanması :

Mann-Whitney U test istatistiğini hesaplamak için iki örnek birleştirilir, tüm örnek gözlemleri küçükten büyüğe doğru sıralanır. En küçük gözleme 1 sıra numarası verilir. Eğer aynı sıra numarasına sahip gözlemler varsa, bunların sıra numaraları toplanıp sıra sayısına bölünür. Her gruptaki ölçüm değerlerine karşılık gelen sıra değerleri kendi içlerinde toplanır ve her grup için bir ( R ) değeri elde edilir. Aşağıdaki formül ile her gruba karşılık gelen bir U değeri bulunur.

U1 = n1*n2+[n1*(n1+1)/2] -R1

U1 = n1*n2+[n2*(n2+1)/2] -R2

Bulunan iki U değerinden küçük olanı analiz sonucu olarak kabul edilir ve tablo değeri ile karşılaştırılır. Analiz sonucunda bulunan U değeri, tablo değerinden küçük ise “iki örneklem(grup) arasındaki fark istatistiksel olarak anlamlıdır” sonucuna varılır. Yapılan karşılaştırmada –diğer analizlerden farklı olarak- analiz sonucunda bulunan değerin küçük olmasının anlamlılığı gösterdiğine dikkat edilmelidir.

3.1.5. Karar Kuralları :

İki anakütle dağılımının aynı merkezi konumda olduğunu söyleyen sıfır hipotezinin aşağıdaki testlerinde anlamlılık düzeyi a olur:

Alternatif hipotez; “Anakütle birin konumu anakütle ikininkinden yüksektir” diyen tek yanlı bir hipotezse karar kuralı :

3.3. Uygulama:

3.3.1. Problem :

Y.T.Ü’de III. ve IV. sınıflara yapılan ankette öğretim üyelerinden memnuniyet derecelerini öğrenmek için bir soru sorulmuştur. 1’den( en küçük) 5’e(en büyük) kadar olan skalada memnuniyet derecelerini işaretlemeleri istenmiştir. 44 veri rasgele seçilmiş ve aşağıda verilmiştir. %5 anlamlılık seviyesinde memnuniyet dereceleri bakımından III. ve IV. sınıf öğrencileri arasında bir fark yoktur diyen H₀ hipotezini çift taraflı olarak test ediniz.

İlk önce yapılması gereken işlem, grupların sıra numaralarının belirlenmesidir. Bu işlem için iki grubun verileri birlikte alınır ve en küçük değere “1” denilerek sıralama yapılır. Aynı değere sahip veriler için sıra numaralarının ortalaması alınır ve her iki gruba yeni sıra numaraları yerleştirilir.

R1 = 568 R2=422

Sıralama işlemine en küçük değer olan “1” ile başlanmıştır. 1.2.3.4.5.6.7.8. sıralarda bulunan 8 ölçüm değeri birbirine eşit olduğu için bu sıra değerlerinin ortalaması olan [(1+2+3+4+5+6+7+8) / 8] = 4.5 verilir. Aynı şekilde 9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21. sıralarda bulunan 2 değeri için sıra değerleri ortalaması : [[9+10+11+...+21+21) / 13] = 15 verilir. 3 ölçüm değeri için sıra numaraları ortalaması : [(22+23+24+...+36+37) / 16] = 29.5 verilir. 4 ölçüm değeri için ise [(38+39+...+43+44) / 7] = 41 değeri verilir.

Her 2 grup için sıra değerleri toplamı( R₁ = 422, R₂ = 568) belirlendikten sonra formüle yerleştirilerek U değerleri bulunur :

n₁= 21 , n₂ = 23

U1= 21*23+[21*(21+1)/2]-568 = 146 (Kullanacağımız U değeri)

U2=21*23+[23*(23+1)/2]-422 = 337

z tablosunda 2 yönlü 0.05 hata olasılığı için tablo değeri 1.96’dır. Bizim bulduğumuz değer(-2.243) bu değerden küçük olduğu için H₀ reddedilir. Yani III. ve IV. sınıflar arasında memnuniyet dereceleri bakımından bir fark olduğu sonucuna varılır.

3.3.4. Problemin SPSS ile Çözülmesi :

3.3.4.1. SPPS’in Mann-Whitney İçin Kullanımı :

SPSS’de Mann-Whitney U testini uygulamak için A ve B seti sırasıyla alt alta “ab” sütununa, bu değerlerin grup kodları “grup” sütununa girilir. Statistics > Nonparametric Tests > 2 Independent Samples… seçeneği tıklanır. Aşağıdaki ekran görüntüye gelir. Bu ekranda Test Variable List alanına derece değişkeni, Grouping Variable alanına sınıf değişkeni taşınır. Test Type seçeneğinden Mann-Whitney U seçeneği seçilir. Define Groups seçeneğinden örnek kodlarının minimum ve maksimum değerleri tanımlanır. Continue ve OK tıklanır.

3.4. Sonuç :

Yaptığımız bu çalışmanın sonucunda gerek kendi çözümümüzde gerekse SPSS’de elde ettiğimiz sonuçlar aynıdır. Yani H₀ reddedilmiş ve sınıflar arasında memnuniyet dereceleri bakımından bir fark olduğu sonucuna varılmıştır.